Serija Maclaurin i raspad određenih funkcija

Treba znati više matematike,da zbroj potencija u intervalu konvergencije niza nas je kontinuirani i neograničen broj puta diferencirane funkcije. Postavlja se pitanje: je li moguće tvrditi da je određena proizvoljna funkcija f (x) zbroj serije snage? To jest, pod kojim uvjetima se f-th f (x) može prikazati serije snage? Važnost ovog pitanja je da je moguće zamijeniti otprilike £ Teološki je f (x) je zbroj prvih nekoliko smislu snage serije, da je polinom. Takva funkcija zamjena je vrlo jednostavna izraz - polinom - je prikladan i za rješavanje određenih problema u matematičku analizu, i to u rješavanje integrala prilikom izračunavanja diferencijalne jednadžbe, itd ...

Dokazano je da za neku f-funkciju f (x) u kojoj je moguće izračunati derivate do (n + 1) -tog reda, uključujući i posljednje, u susjedstvu (α -R; x0 + R) neke točke x = α, važeća je sljedeća formula:

Taylor i Maclaurin
Ova formula nosi ime poznatog znanstvenika Brooke Taylor. Serija koja se dobiva od prethodnog naziva se serija Maclaurin:

Serije Maclaurin

Pravilo koje omogućuje razgradnju u seriju Maclaurin:

  1. Odredite derivate prvog, drugog, trećeg ... naloga.
  2. Izračunajte što su derivati ​​kod x = 0 jednaki.
  3. Snimite seriju Maclaurin za određenu funkciju, a zatim odredite interval konvergencije.
  4. Odredite interval (-R; R), gdje je ostatak formule Maclaurin

Rn(x) -> 0 kao n -> beskonačnost. U slučaju da postoji, funkcija f (x) u njemu mora se podudarati s zbrojem serije Maclaurin.

Sada razmotrimo seriju Maclaurin za pojedinačne funkcije.

1. Dakle, prvi je f (x) = ex, Naravno, u smislu svojih singularnosti, takva funkcija ima derivate vrlo različitih narudžbi, i f(K)(x) = ex, gdje je k jednak prirodnim brojevima. Zamjenjujemo x = 0. Dobivamo f(K)(0) = e0= 1, k = 1,2 ... Slijedom iz prethodnog, serija ex izgledat će ovako:

Ekspanzija Maclaurina
2. Serija Maclaurin za funkciju f (x) = sin x. Odmah ćemo pojasniti da φ-th za sve nepoznate će imati derivate, osim toga, f"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f„”(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f(K)(x) = sin (x + k * n / 2), gdje je k jednak prirodnom broju. To jest, jednostavnim izračunima možemo doći do zaključka da će serija za f (x) = sin x biti u obliku:

Serija za funkciju f (x) = sin x
3. Sada pokušavamo uzeti u obzir funkciju f (x) = cos x. Ima derivate proizvoljnog reda za sve nepoznate i | f(K)(x) | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Opet, to što je napravio neke izračune, nalazimo da je serija za f (x) = cos x će izgledati ovako:

Serija za f (x) = cos x

Zato smo naveli najvažnije funkcije kojemogu se razložiti u seriju Maclaurin, ali ih nadopunjuje Taylorov niz za neke funkcije. Sad ih navodimo. Također je napomenuto da su Taylor i Maclaurin serija važan dio radionice rješavanja serija u višoj matematici. Dakle, serija Taylor.

1. Prva je serija za funkciju f (x) = ln (1 + x). Kao u prethodnim primjerima, za određeni f (x) = ln (1 + x) možemo dodati seriju pomoću općeg oblika serije Maclaurin. Međutim, za ovu funkciju Maclaurinova serija može se dobiti puno jednostavnijom. Integrirajući neke geometrijske serije dobivamo seriju za f (x) = ln (1 + x) takvog uzorka:

Serija za f (x) = ln (1 + x)

2. I druga, koja će biti konačna u našem radu, bit će seriju za f (x) = arctg x. Za x koji pripada intervalu [-1; 1] ekspanzija vrijedi:

Serija za f (x) = arctg x

To je sve. U ovom članku su razmotrene najčešće korištene serije Taylora i Maclaurina u višoj matematici, osobito na ekonomskim i tehničkim sveučilištima.

</ p>
volio:
0
Vezani članci
Definicija i vrste funkcija u državi
Wireless računalo za bicikle - što je to i
Kraljevstvo gljiva
Zajednica u susjedstvu
Demoralizacija je ... značenje riječi
Bakterije propadanja i raspadanja
Kako odabrati najjeftiniji Androidov smartphone
Pretvorba vrste. Okrugli i Trunc funkcije
Plaćanje Visa Electron Sberbank, njezina
Popularni postovi
gore